Liste von Quantengattern

Überblick

Viele Konzepte im Quantencomputing beruhen auf einer kleinen Anzahl standardisierter Qubit‑Zustände und Gatter. Diese Seite gibt einen Überblick über die Basiszustände von Ein‑ und Zwei‑Qubit‑Systemen sowie über die Quantengatter, die auf diese wirken.

Die folgende Liste kann auch als pdf heruntergeladen werden.

Basiszustände für ein oder zwei Qubits

Basiszustände für ein Qubit (Ket- und Vektor-Notation)

$| 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $| + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})$

Oder:

$| 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ , $| - ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})$

Basiszustände für zwei Qubits

$| 00 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | 01 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | 10 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) | 11 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

Quantengatter

Identität Identität

Matrixsymbol: $I$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Matrixdarstellung für zwei Qubits

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Es lässt das/die Qubit(s) unverändert.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

$I \cdot | 0 ⟩ = | 0 ⟩$

Pauli X (NICHT) Pauli X (NICHT)

Matrixsymbol: $X$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

$(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$

Matrixdarstellung für zwei Qubits

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Es kehrt die beiden Qubit-Zustände um. Dieses Gatter wird auch als Bit-Flip bezeichnet.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

$X \cdot | 0 ⟩ = | 1 ⟩ and X \cdot | 1 ⟩ = | 0 ⟩$

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot | 00 ⟩ = | 11 ⟩$

Pauli Z Pauli Z

Matrixsymbol: $Z$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix})$

Matrixdarstellung für zwei Qubits

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Ändert das Vorzeichen des Ein-Qubit-Zustands $| 1 ⟩$ bzw. der Zwei-Qubit-Zustände $| 01 ⟩$ und $| 10 ⟩$ . Entspricht einer Phasenumkehr.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix})$

$Z \cdot | 0 ⟩ = | 0 ⟩ and Z \cdot | 1 ⟩ = - | 1 ⟩$

Pauli Y Pauli Y

Matrixsymbol: $Y$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

$(\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Kombination aus $X$ - und $Z$ -Gatter – es kehrt den Qubit-Zustand und die Phase um.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$(\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = i (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = - i (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

$Y \cdot | 0 ⟩ = i | 1 ⟩ and Y \cdot | 0 ⟩ = i | 1 ⟩$

Kontrolliertes NICHT Kontrolliertes NICHT

Matrixsymbol: $C N O T$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

Matrixdarstellung für zwei Qubits

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Kehrt den zweiten Qubit-Zustand (Ziel-Qubit) genau dann um, wenn das erste Qubit (Steuer-Qubit) im Zustand $| 1 ⟩$ ist.
Das erste Qubit (das Steuer-Qubit) bleibt unverändert.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$C N O T \cdot | 00 ⟩ = | 00 ⟩$

$C N O T \cdot | 10 ⟩ = | 11 ⟩$

Hadamard Hadamard

Matrixsymbol: $H$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$

Matrixdarstellung für zwei Qubits

$\frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Erzeugt einen gleich wahrscheinlichen Superpositionszustand eines Qubits.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix})$

$H \cdot | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)$

$H \cdot | 1 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ - | 1 ⟩)$

SWAP SWAP

Matrixsymbol: $S W A P$

Schaltkreissymbol:

Matrixdarstellung für ein Qubit

Matrixdarstellung für zwei Qubits

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

Was macht das Gatter?

Vertauscht Zwei-Qubit-Zustände.

Wie das Quantengatter auf ein oder zwei Qubits wirkt - Beispiel(e)

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

$S W A P \cdot | 10 ⟩ = | 01 ⟩$

$S W A P \cdot | 01 ⟩ = | 10 ⟩$

Wie kommt man von einer 2x2-Matrix (1 Qubit) auf eine 4x4-Matrix (2 Qubits)?

$X \otimes X = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

$H \otimes H = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$

$| 00 ⟩ = | 0 ⟩ \otimes | 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | 11 ⟩ = | 1 ⟩ \otimes | 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$| 01 ⟩ = | 0 ⟩ \otimes | 1 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) | 10 ⟩ = | 1 ⟩ \otimes | 0 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

Quellen Quellen

Die Bilder der Schaltkreissymbole "Identität", "Pauli X (NICHT)" und "Pauli Z": By Geek3 - Own work, CC BY 3.0

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Basiszustände für ein oder zwei Qubits

Basiszustände für ein Qubit (Ket- und Vektor-Notation)

Basiszustände für zwei Qubits

Quantengatter

Wie kommt man von einer 2x2-Matrix (1 Qubit) auf eine 4x4-Matrix (2 Qubits)?

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