Was ist ein Quantengatter und was macht es mit einem Qubit?

Materialien

• Papier und Bleistift
• Tablets/Computer und Zugang zum Internet

Lernziele

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schüler*innen:

• was Quantengatter sind und wie sie auf ein oder mehrere Qubits wirken;
• die Matrixschreibweise einiger Quantengatter kennen;
• wie man mit Matrizen und Vektoren mathematisch zeigen kann, wie Quantengatter Qubit-Zustände verändern.

Quantengatter, die auf ein Qubit wirken

Die Pauli-Gatter

Die Pauli-Gatter X, Y und Z gehören zu den wichtigsten Gattern, die auf ein ein Qubit wirken. 

Das Pauli-X-Gatter, auch NOT-Quantengatter genannt oder Bit-Flip, vertauscht den Basiszustand des Qubits von ${\displaystyle |0⟩}$ zu ${\displaystyle |1⟩}$, oder von ${\displaystyle |1⟩}$ zu ${\displaystyle |0⟩}$. Man kann auch sagen: Es tauscht die Wahrscheinlichkeiten aus, das Qubit in einem der beiden Basiszustände zu finden. 

Sind die Schüler*innen mit der Ket-Notation (${\displaystyle |0⟩}$ und ${\displaystyle |1⟩}$) noch nicht vertraut und benötigen sie eine Einführung bzw. eine Auffrischung für das Rechnen mit Matrizen, können Sie mit ihnen die Unterrichtseinheit Matrizen und wie sie im Quantencomputing eingesetzt werden durchnehmen. 

Das Ket ${\displaystyle |0⟩}$ kann auch als Vektor ${\displaystyle \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}$ geschrieben werden, und das Ket ${\displaystyle |1⟩}$ als Vektor ${\displaystyle \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}$. Die Ket-Notation und die Vektor-Notation sind äquivalent. Die Ket-Notation ist in der Regel übersichtlicher. 

Die Matrix-Darstellung für das Pauli-X-Gatter ist:

${\displaystyle X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}$.

Wendet man nun ein Pauli-X-Gatter auf ein Qubit im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ an, erhält man:

${\displaystyle X|0⟩=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=|1⟩}$.

Und analog:

${\displaystyle X|1⟩=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=|0⟩}$.

Das kann auch geschrieben werden: ${\displaystyle X|0⟩=|1⟩}$ und ${\displaystyle X|1⟩=|0⟩}$

In einem Quantenschaltkreis, einem visuellen Modell eines Programms für einen Quantencomputer, wird das Pauli-X-Gatter durch das folgende Symbol dargestellt:

Das Pauli-Y-Gatter, das Pauli-Z-Gatter und weitere Gatter, die auf ein Qubit wirken, werden in der Liste der Quantengatter beschrieben.

Das Hadamard-Gatter

Das Hadamard-Gatter, benannt nach dem französischen Mathematiker Jacques Hadamard und symbolisiert durch den Buchstaben H, bringt ein einzelnes Qubit in eine gleichwahrscheinliche Superposition der beiden Basiszustände ${\displaystyle |0⟩}$ und ${\displaystyle |1⟩}$. 

${\displaystyle H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}$.

Angewandt auf den Basiszustand ${\displaystyle |0⟩}$ ergibt:

${\displaystyle H\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -<!--\; -\; -->1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\end{array}\right)}$.

Oder in Ket-Notation:

${\displaystyle H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}|0⟩+|1⟩\end{array}\right)}$.

Und analog:

${\displaystyle H\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -<!--\; -\; -->1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -<!--\; -\; -->1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]-<!--\; -\; -->\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\end{array}\right)}$.

Oder in Ket-Notation:

${\displaystyle H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}|0⟩-<!--\; -\; -->|1⟩\end{array}\right)}$

Die resultierenden Superpositionszustände werden als $|+⟩$ und $|-⟩$ bezeichnet:

${\displaystyle |+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}|0⟩+|1⟩\end{array}\right)}$ und

${\displaystyle |-<!--\; -\; -->⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}|0⟩-<!--\; -\; -->|1⟩\end{array}\right)}$.

In einem Quantenschaltkreis wird das Hadamard-Gatter durch das folgende Symbol dargestellt:

Quantengatter, die auf zwei Qubits wirken

Kontrolliertes NICHT-Gatter (CNOT-Gatter)

Das kontrollierte NICHT-Gatter wird auch als CNOT bezeichnet – vom Englischen Controlled NOT. Es wirkt auf zwei Qubits. Das erste Qubit ist das Kontroll-Qubit, das zweite Qubit das Ziel-Qubit. Je nach Zustand des Kontroll-Qubits wird das Ziel-Qubit vertauscht oder es bleibt unverändert.

Die Wirkung eines CNOT-Gatters ist in Tabelle 1 zusammengefasst, wobei $|a⟩$ das Kontroll-Qubit und $|b⟩$ das Ziel-Qubit darstellt.

Tab.: Wirkung des CNOT-Quantengatters auf zwei Qubits. Der Zustand $|00⟩$ beschreibt den Fall, dass beide Qubits - das Kontroll-Qubit und das Ziel-Qubit - im Zustand $|0⟩$ sind.

Für weitere Quantengatter, die auf zwei Qubits wirken, siehe Liste der Quantengatter.

Aktivitäten für Schüler*innen

Die Schüler*innen können sich anhand von drei Arbeitsblättern näher mit Qubits und Quantengattern vertraut machen – den grundlegenden Bausteinen von Quantencomputern.

Arbeitsblatt 1: Die Schüler*innen entdecken verschiedene Simulatoren für Quantenschaltkreise und erstellen einfache Schaltkreise. Download als docx und pdf.

Arbeitsblatt 2: Die Schüler*innen verwenden einen Quantenschaltkreis-Simulator ihrer Wahl (zum Beispiel die Quantum Machine) und wenden ein Hadamard-Gatter auf ein Qubit und/oder ein CNOT-Gatter auf zwei Qubits an. Download als docx und pdf.

Arbeitsblatt 3: Die Schüler*innen programmieren einen Zufallszahlengenerator, indem sie das Prinzip der Superposition verwenden. Download als docx und pdf.

Die folgenden Unterrichtseinheiten in diesem Projekt geben einen tieferen/anderen Einblick, wie Quantengatter auf ein oder mehrere Qubits wirken: 

• Die Quantum Machine
• In der Unterrichtseinheit Qubits, Quantengatter und Quantenschaltkreise – aus der Informatikperspektive können die Schüler*innen Programme schreiben, die auf einem echten Quantencomputer ausgeführt werden.
• In der Unterrichtseinheit Simulation der Quantensuperspoition und der Verschränkung können die Schüler*innen kleine elektronischen Schaltkreise entwerfen und bauen (mit Tinkercad und Arduino), mit denen das Prinzip der Superposition und/oder das Prinzip der Verschränkung simuliert werden.