Matrizen und wie sie im Quantencomputing eingesetzt werden

Die Schüler*innen

• lernen, was Matrizen sind und wie man mit ihnen grundlegende Operationen wie Addition und Multiplikation durchführt;
• erfahren, wie Matrizen in der Quantenmechanik bzw. im Quantencomputing verwendet werden;
• lernen das Kronecker-Produkt (auch Tensorprodukt genannt) kennen, eine spezielle Matrixoperation, die beispielsweise zur Beschreibung von Multi-Qubit-Systemen verwendet wird;
• machen sich mit der Dirac-Notation (Bra-Ket-Notation) vertraut, einer Darstellung von Quantenzuständen.

Eine Matrix ist eine Anordnung von ${\displaystyle m\times n}$ Zahlen, wobei ${\displaystyle m}$ die Anzahl der Zeilen und ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Spalten ist. Die Ordnung einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen mal die Anzahl der Spalten, d. h. ${\displaystyle m\times n}$. Angenommen, eine Matrix hat 5 Zeilen und 4 Spalten, dann beträgt die Ordnung der Matrix 20. 

${\displaystyle M=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\\ a_{51}& a_{52}& a_{53}& a_{54}\end{array}\right]}$

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist.

${\displaystyle M=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ 0& 1& 5\\ -2& 0& 3\end{array}\right]}$

Die Identitätsmatrix (oder Einheitsmatrix) ist eine quadratische Matrix mit Einsen in der Hauptdiagonalen und überall sonst Nullen.

${\displaystyle I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}$

Um zwei Matrizen zu addieren oder voneinander zu subtrahieren, müssen die Matrizen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben. Die Addition und Subtraktion von Matrizen erfolgt Element für Element. Jedes Element einer Matrix wird zum entsprechenden Element der anderen Matrix addiert oder von diesem subtrahiert.

Beispiel

Betrachte die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. Berechne ${\displaystyle A+B}$ und ${\displaystyle A-B}$.

${\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -1\end{array}\right]}$ und ${\displaystyle B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]}$.

Lösung

${\displaystyle A+B=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2+1& 3+2\\ 5+3& -1+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 8& -1\end{array}\right]}$

${\displaystyle A-B=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2-1& 3-2\\ 5-3& -1-0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]}$

Um eine Matrix mit einer anderen Matrix multiplizieren zu können, müssen ihre Dimensionen übereinstimmen (bei zwei Matrizen A und B heißt das, dass die Anzahl der Spalten in A mit der Anzahl der Zeilen in B übereinstimmen muss). Das Ergebnis ist eine Matrix, die so viele Zeilen wie die erste Matrix und so viele Spalten wie die zweite Matrix hat.

${\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]}$ und  ${\displaystyle B=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]}$

${\displaystyle AB=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]}$

${\displaystyle BA=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}{a}_{11}+b_{12}{a}_{21}& b_{11}{a}_{12}+b_{12}{a}_{22}\\ b_{21}{a}_{11}+b_{22}{a}_{21}& b_{21}{a}_{12}+b_{22}{a}_{22}\end{array}\right]}$

Beispiel:

Nehmen wir wieder die beiden Matrizen aus dem Abschnitt „Addition und Subtraktion“. Die Ergebnisse von ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle BA}$ sind:

$AB=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}11& 4\\ 2& 10\end{array}\right]$

$BA=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}12& 1\\ 6& 9\end{array}\right]$

Beispiel 3

Betrachte wieder die beiden Matrizen ${\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -1\end{array}\right]}$ und ${\displaystyle B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]}$. Ihr Kronecker-Produkt ist:
${\displaystyle A\otimes <!--\; \otimes \; -->B=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -<!--\; -\; -->1\end{array}\right]\otimes <!--\; \otimes \; -->\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]& 3\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]\\ 5\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]& -<!--\; -\; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right]\end{array}\right]}$ 
${\displaystyle =\left[\begin{array}{cccc}2& 4& 3& 6\\ 6& 0& 9& 0\\ 5& 10& -<!--\; -\; -->1& -<!--\; -\; -->2\\ 15& 0& -<!--\; -\; -->3& 0\end{array}\right]}$.

Beispiel 4

Das Kronecker-Produkt ist distributiv:${\displaystyle (\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v})\otimes <!--\; \otimes \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\otimes <!--\; \otimes \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\otimes <!--\; \otimes \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}}$

a) Überprüfe die Distributivität des Kronecker-Produkts für die folgenden Vektoren:
${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}$ und ${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}$.

b) In der Ket-Notation können diese drei Vektoren geschrieben werden als:
${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=|0⟩}$, ${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=|1⟩}$ und ${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}=|0⟩}$.

${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\otimes <!--\; \otimes \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\otimes <!--\; \otimes \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}}$ kann daher auch geschrieben werden als:

${\displaystyle |0⟩\otimes <!--\; \otimes \; -->|0⟩+|1⟩\otimes <!--\; \otimes \; -->|0⟩}$, oder in einer noch kürzeren Schreibweise: ${\displaystyle |00⟩+|10⟩}$.

Das Kronecker-Produkt ist nützlich, weil es die Handhabung von zusammengesetzten Systemen ermöglicht, indem es diese als Kombinationen einzelner Komponenten behandelt.

Beispiel 5

Betrachte die beiden Qubit-Zustände:
${\displaystyle |0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}$ und ${\displaystyle |1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}$.

Der Quantenzustand eines Zwei-Qubit-Systems ergibt sich aus dem Kronecker-Produkt der beiden Qubit-Zustände, zum Beispiel,
${\displaystyle |0⟩\otimes <!--\; \otimes \; -->|0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes <!--\; \otimes \; -->\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=|00⟩}$

Beachte: Das Kronecker-Produkt ist nicht kommutativ: ${\displaystyle |0⟩\otimes <!--\; \otimes \; -->|1⟩\ne <!--\; \ne \; -->|1⟩\otimes <!--\; \otimes \; -->|0⟩}$.
 

Example 6

Quantenzustände können nicht immer einfach als Kronecker-Produkte geschrieben werden. Betrachten wir den Zwei-Qubit-Zustand:

${\displaystyle |{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)}$,

der der folgenden Summe von Kronecker-Produkten entspricht:

${\displaystyle |{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\otimes <!--\; \otimes \; -->\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\otimes <!--\; \otimes \; -->\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)}$

Das entspricht:

${\displaystyle |{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]}$

Der resultierende Zustand kann nicht durch ein Kronecker-Produkt zweier Qubit-Basiszustände dargestellt werden.

1. B
2. A
3. B
4. A