Der Elitzur-Vaidman-Bombentest: Aufgaben Teil 1 & 2 mit Lösungen

Kontext

Dieses Material ist Teil der Unterrichtseinheit Der Elitzur-Vaidman-Bombentest – ein Beispiel für Quantenüberlegenheit, die essenzielle Konzepte des Quantencomputings wie Superposition, Messung und Quantenüberlegenheit.

Diese Seite gibt Lehrkräften einen Überblick über die Arbeitsblätter. Die folgenden Links bieten Schüler*innen direkten Zugriff darauf.

Interaktives Arbeitsblatt Teil 1

Interaktives Arbeitsblatt Teil 2

Teil 1: Superposition und Interferenz

Gehe zum Aufbau: Experimente mit einem Mach-Zehnder-Interferometer
Gehe zu Aufgabe 1: Licht als elektromagnetische Welle
Gehe zu Aufgabe 2: Setze den Strahlteiler 2 ein
Gehe zu Aufgabe 3: Klassische Teilchen
Gehe zu Aufgabe 4: Licht als Photon
Gehe zu Aufgabe 5: Fülle die Lücken

Teil 2: Eine Messung zerstört die Superposition

Die Schülerinnen und Schüler beobachten, wie Interferenz und Messung den Weg eines Photons beeinflussen, indem sie den Aufbau des Quantum Flytrap Interferometers verändern.

Gehe zu Teil 2

Aufbau: Experimente mit einem Mach-Zehnder-Interferometer

Öffne die Webseite mit der Simulation eines Mach-Zehnder-Interferometers: Interferometer-Simulation

Bleibe zunächst auf dem Tab Simulation und aktiviere den Radiobutton Controls, um den oben gezeigten Aufbau zu erhalten. Du kannst nun mit den Feldern Input und Main controls unten links herumexperimentieren.

Aufgabe 1: Licht als elektromagnetische Welle

In diesem ersten Schritt wird Licht als klassische elektromagnetische Welle betrachtet.

Untersuche das Verhalten von Licht im Interferometer, indem du den Radiobutton Electromagnetic wave aktivierst. Klicke auf Continuous, damit eine kontinuierliche elektromagnetische Welle in das Interferometer eintritt. Achte darauf, dass sich der Strahlteiler 2 nicht im Strahlengang befindet.

Beschreibe das Verhalten der elektromagnetischen Welle am ersten Strahlteiler und an den Spiegeln.
Beobachte, in welchem Detektor die Welle nachgewiesen wird. Du kannst auf Fast forward 100 counts klicken, um zu sehen, wie oft die Welle in Detektor 1 und wie oft sie in Detektor 2 nachgewiesen wird. Erläutere das Ergebnis.

Aufgabe 2: Setze den Strahlteiler 2 ein

Das Licht ist immer noch eine elektromagnetische Welle. Füge nun einen weiteren Strahlteiler in den Weg des Lichts ein, indem du auf Insert beam splitter 2 klickst.

Beobachte, wie sich der Aufbau und das Verhalten des Lichts verändert haben.
Beobachte, in welchem Detektor das Licht erfasst wird. Schaue dir die Anzahl der Treffer im Feld Detected counts an.
Notiere deine Beobachtungen.

Lösung & Erklärung Lösung & Erklärung

Lösung

Ohne den Strahlteiler 2 erreicht die Lichtwelle sowohl den Detektor 1 als auch den Detektor 2 – die an jedem der Detektoren registrierte Lichtintensität beträgt 50% der Lichtintensität der einfallenden Welle.
Wenn der Strahlteiler 2 eingesetzt wird, wird die Lichtwelle nur vom Detektor 2 erfasst (100% der Intensität der einfallenden Welle).

Erklärung

Am Strahlteiler 1 teilt sich die einfallende Welle in zwei Wellen auf, von denen jede 50% der Intensität der einfallenden Welle hat. Eine Welle wird am Spiegel 1 reflektiert, die andere am Spiegel 2.
Sobald diese beiden Wellen den Strahlteiler 2 passiert haben, interferieren sie miteinander.
Bei der Reflexion an den Strahlteilern werden die Wellen phasenverschoben. Je nach Phasendifferenz zwischen den beiden Wellen nach dem zweiten Strahlteiler kann man destruktive oder konstruktive Interferenz beobachten.
In Richtung von Detektor 1 beobachtet man eine destruktive Interferenz: Die beiden Wellen heben sich gegenseitig auf, die Lichtintensität ist null, sodass nichts detektiert wird.
In Richtung von Detektor 2 ist die Interferenz konstruktiv: Die beiden Wellen „addieren“ sich und das Licht erreicht Detektor 2. Die an Detektor 2 detektierte Lichtintensität entspricht der Lichtintensität der einfallenden Welle.

Aufgabe 3: Klassische Teilchen

In einem zweiten Experiment soll nun das Verhalten klassischer Teilchen (sehr kleiner „Murmeln“) beobachtet und mit dem Verhalten einer Welle verglichen werden.

Klicke im Feld Input auf Classical particles und Insert beam splitter 2.

Beobachte und beschreibe das Verhalten klassischer Teilchen an den Strahlteilern.
Klicke auf Fast forward 100 counts. Schaue dir die Anzahl der Treffer in Detektor 1 und Detektor 2 an.
Warum unterscheidet sich das, was detektiert wird, von dem, was in Aufgabe 2 detektiert wurde? Versuche, eine Erklärung dafür zu finden.

Lösung & Erklärung Lösung & Erklärung

Lösung

An den Strahlteilern nimmt ein klassisches Teilchen entweder den einen oder den anderen Weg.
Die Anzahl der Teilchen, die den Detektor 1 erreichen, entspricht in etwa der Anzahl der Teilchen, die den Detektor 2 erreichen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen von einem der beiden Detektoren erfasst wird, beträgt 50%.
Eine Welle kann „aufgeteilt“ werden, ein klassisches Teilchen hingegen nicht.

Erklärung mit Zuständen

Physiker*innen beschreiben das Verhalten eines Systems, indem sie dessen Zustand bzw. Zustände verfolgen. Um den Zustand eines Systems (z. B. einer Welle, eines Teilchens) zu beschreiben, verwenden sie die sogenannte (Bra-)Ket-Notation. Beispiel: Ein Teilchen, das den oberen Weg im Interferometer nimmt, würde mit |up⟩ beschrieben werden.
Ein ankommendes klassisches Teilchen, das den Strahlteiler 2 passiert hat, kann sich in zwei möglichen Zuständen befinden: Ein Teilchen, das den oberen Weg nimmt, ist im Zustand |up⟩ und wird von Detektor 1 erfasst. Ein Teilchen, das den rechten Weg nimmt, ist im Zustand |right⟩ und wird von Detektor 2 erfasst.
Die folgende Tabelle fasst zusammen, wie sich der Zustand des ankommenden klassischen Teilchens beim Durchlaufen des Interferometers ändert.

	Zustand eines klassischen Teilchens
Anfangszustand	\|initial⟩
Nach Strahlteiler 1	entweder \|up⟩ oder \|right⟩
Nach Strahlteiler 2	entweder \|up⟩ oder \|right⟩
Detektion	50% aller Teilchen werden im Detektor 1 erfasst 50% aller Teilchen werden im Detektor 2 erfasst

Im Gegensatz zu Licht, das als elektromagnetische Welle betrachtet wird, kann ein klassisches Teilchen von beiden Detektoren erfasst werden – mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 50%.

Schlussfolgerung: Licht verhält sich nicht wie ein klassisches Teilchen.

Aufgabe 4: Licht als Photon

Licht kann auch als aus „teilchenartigen“ Quantenobjekten zusammengesetzt beschrieben werden. Diese Quantenobjekte werden als Photonen bezeichnet. Je nach Experiment zeigen sie Eigenschaften von Teilchen oder Wellen (auch als Welle-Teilchen-Dualismus bezeichnet).

Klicke im Feld Input auf Single photons. Füge den Strahlteiler 2 ein.

Untersuche, was passiert, wenn einzelne Photonen durch das Interferometer gehen.
Beschreibe, in welchem Detektor die einzelnen Photonen erfasst werden.
Vergleiche dies mit dem Verhalten eines klassischen Teilchens, das durch das Interferometer geht.

Lösung & Erklärung Lösung & Erklärung

Lösung

Die einzelnen Photonen werden nur von Detektor 2 erfasst (mit einer Wahrscheinlichkeit von 100 %), während klassische Teilchen sowohl von Detektor 1 (50 % Wahrscheinlichkeit) als auch von Detektor 2 (50 % Wahrscheinlichkeit) erfasst wurden.

Erklärung

Obwohl ein Photon die Eigenschaften eines Teilchens hat, kann es sich gleichzeitig in beiden Zuständen $| u p ⟩$ oder $| r i g h t ⟩$ befinden und den oberen oder den rechten Weg nehmen, nachdem es den Strahlteiler 1 passiert hat.
Das einzelne Photon befindet sich in einer Superposition der beiden Zustände $| u p ⟩$ und $| r i g h t ⟩$ . Der Superpositionszustand wird wie folgt geschrieben: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | u p ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | r i g h t ⟩$ .
In der Simulation wird die Superposition der beiden Zustände durch die beiden Wellenpakete (die das Photon darstellen) symbolisiert, die durch eine gepunktete Linie verbunden sind.
Möchte man herausbekommen, welchen Weg das Photon nimmt, muss man eine Messung vornehmen. Quadriert man die Faktoren vor den Zuständen $| u p ⟩$ und $| r i g h t ⟩$ , in diesem Fall jeweils ${(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1}{2}$ , erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon den oberen bzw. den rechten Weg nimmt. Die Wahrscheinlichkeit ist hier jeweils $\frac{1}{2}$ , also 50 %. Ohne Messung ist der Weg des einzelnen Photons nicht bestimmt.

Nach dem Strahlteiler 2 interferieren die beiden möglichen Zustände des einzelnen Photons ( $| u p ⟩$ und $| r i g h t ⟩$ ) – genau wie die elektromagnetische Welle.

Schlussfolgerung

Wenn sich das Photon in mehreren möglichen Zuständen befinden kann, spricht man von einem „Superpositionszustand“, wie hier der Zustand $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | u p ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | r i g h t ⟩$ , der beschreibt, dass das Photon sowohl den oberen als auch den rechten Weg nimmt. Die beiden Zustände können sich gegenseitig beeinflussen – genau wie Wellen.

Aufgabe 5: Fülle die Lücken

Fülle die Lücken in der folgenden Tabelle aus, die das Verhalten eines klassischen Teilchens und eines Photons beim Durchgang durch einen Mach-Zehnder-Interferometer zusammenfasst.

	Klassische Teilchen	Photonen
Anfangszustand	$\| i n i t i a l ⟩$	$\| i n i t i a l ⟩$
Nach Strahlteiler 1	________________________	Superposition von zwei Zuständen: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| u p ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| r i g h t ⟩$
Nach Strahlteiler 2	_______________________	_______________ wegen ______________________
Detektion	____% der klassischen Teilchen werden in Detektor 1 erfasst. ____% der klassischen Teilchen werden in Detektor 2 erfasst.	____% der Photonen werden in Detektor 1 erfasst. ____% der Photonen werden in Detektor 2 erfasst.

Lösung Lösung

	Klassische Teilchen	Photonen
Anfangszustand	$\| i n i t i a l ⟩$	$\| i n i t i a l ⟩$
Nach Strahlteiler 1	entweder $\| u p ⟩$ oder $\| r i g h t ⟩$	Superposition von zwei Zuständen: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| u p ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| r i g h t ⟩$
Nach Strahlteiler 2	entweder $\| u p ⟩$ oder $\| r i g h t ⟩$	nur $\| r i g h t ⟩$ wegen Interferenz
Detektion	50% der klassischen Teilchen werden in Detektor 1 erfasst. 50% der klassischen Teilchen werden in Detektor 2 erfasst.	0% der Photonen werden in Detektor 1 erfasst. 100% der Photonen werden in Detektor 2 erfasst.

Teil 2: Eine Messung zerstört die Superposition

Öffne die Webseite mit dem Quantum Flytrap-Spiel.

Dieses Spiel wurde von Piotr Migdał entwickelt und von Klem Jankiewicz designt.

Das Ziel des Spiels besteht darin, die Konfiguration eines Mach-Zehnder-Interferometers so zu ändern, dass 50% der Photonen den Detektor 1 und 50% der Photonen den Detektor 2 erreichen.

Screenshot Quantum Fly Trap — © Screenshot

Aufgabe: Mach dich mit dem Aufbau vertraut und ändere ihn

Schicke ein einzelnes Photon in das Interferometer, indem du auf den Laser klickst. Das Photon geht in einen Superpositionszustand über, $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | d o w n ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | r i g h t ⟩$ , nachdem es den ersten Strahlteiler passiert hat. Nach dem zweiten Strahlteiler wird das Photon aufgrund von Interferenz nur vom Detektor auf der rechten Seite erfasst. Das Photon befindet sich also in allen Fällen im Zustand $| r i g h t ⟩$ .
Finde heraus, was du ändern musst, damit das Photon mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 50% von beiden Detektoren erfasst wird. Kleiner Hinweis: Es gibt ein Element, das du verschieben kannst.

Hast du es geschafft?

Lade die Webseite erneut und setze den beweglichen Detektor in einen der Wege ein, beispielsweise in den rechten Weg des Photons.
Beobachte das Verhalten des Photons, während es durch das Interferometer läuft.
Durch das Einfügen des beweglichen Detektors in den rechten Weg führst du eine Messung durch – du überprüfst, ob das Photon den rechten Weg genommen hat oder nicht. Dies verändert das Verhalten des Photons und den Superpositionszustand. Nach der Messung befindet sich das Photon entweder im rechten Weg (es wurde vom beweglichen Detektor erfasst) oder im unteren Weg (es wurde nicht vom beweglichen Detektor erfasst).

Zusammenfassung und Fazit Zusammenfassung und Fazit

Die folgende Tabelle fasst zusammen, was passiert:

	Photon
Anfangszustand	$\| i n i t i a l ⟩$
Nach Strahlteiler 1	Superpositionszustand: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| d o w n ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| r i g h t ⟩$
Nach der Messung	Entweder $\| d o w n ⟩$ oder $\| r i g h t ⟩$
Nach Strahlteiler 2	Superpositionszustand: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| d o w n ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \| r i g h t ⟩$
Detektion	50% der Photonen werden im Detektor 1 nachgewiesen. 50% der Photonen werden im Detektor 2 nachgewiesen.

Schlussfolgerung

Eine Messung verändert den Zustand des Photons. Im obigen Experiment zerstört sie den Superpositionszustand $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | d o w n ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot | r i g h t ⟩$ . Nach der Messung befindet sich das Photon entweder im Zustand $| d o w n ⟩$ oder im Zustand $| r i g h t ⟩$ .

Quellen und Referenzen Quellen und Referenzen

https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/simulations_html5/sims/photons-particles-waves/photons-particles-waves.html
Diese Simulation wurde von einem Team an der University of St. Andrews in Großbritannien entwickelt.
Quantum Flytrap game 'Peeking at a photon'

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Der Elitzur-Vaidman-Bombentest: Aufgaben Teil 1 & 2 mit Lösungen

Kontext

Teil 1: Superposition und Interferenz

Teil 2: Eine Messung zerstört die Superposition

Aufgabe 1: Licht als elektromagnetische Welle

Aufgabe 2: Setze den Strahlteiler 2 ein

Lösung

Erklärung

Aufgabe 3: Klassische Teilchen

Lösung

Erklärung mit Zuständen

Aufgabe 4: Licht als Photon

Lösung

Erklärung

Schlussfolgerung

Aufgabe 5: Fülle die Lücken

Teil 2: Eine Messung zerstört die Superposition

Aufgabe: Mach dich mit dem Aufbau vertraut und ändere ihn

Schlussfolgerung

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