Grundlagen der Quantenphysik

Klassisch lässt sich Licht als Welle beschreiben: Ein Lichtstrahl kann von einer Oberfläche reflektiert werden, beim Übergang von einem Medium in ein anderes gebrochen werden, um Hindernisse herum gebeugt werden und mit einem anderen Lichtstrahl interferieren. Allerdings lassen sich bestimmte Phänomene, wie die Schwarzkörperstrahlung oder der photoelektrische Effekt, mit dem Wellenmodell nicht erklären. Im Jahr 1900 stellte der deutsche Physiker Max Planck eine revolutionäre Idee vor, wonach das Problem der Schwarzkörperstrahlung gelöst werden kann, wenn man Licht als einen Fluss von Teilchen (Photonen) betrachtet, die feste winzige Energiemengen (Quanten) transportieren. Damit begründete er ein völlig neues Gebiet, die Quantenphysik. Die Vorstellung, dass sich Licht in verschiedenen Experimenten entweder wie eine Welle oder wie ein Teilchenfluss verhalten kann, wird als Welle-Teilchen-Dualismus bezeichnet. Wie sich später herausstellte, gilt diese Dualität für alle Materie, lässt sich jedoch am besten bei Objekten subatomarer Größe wie Elementarteilchen beobachten. Die Tatsache, dass sich dasselbe Objekt je nach Situation unterschiedlich manifestiert, mag paradox erscheinen. Betrachten wir es also einmal abstrakter: Ein Objekt ist eine Einheit, die mathematisch durch einen Quantenzustand (oder eine Wellenfunktion) beschrieben werden kann, sodass bestimmte mathematische Operationen auf den Zustand das Verhalten des Objekts bestimmen.

Der Welle-Teilchen-Dualismus wurde ursprünglich als eine einzigartige Eigenschaft des Lichts angesehen. Aber betrachten wir es einmal so: Wenn Licht, das sich klassisch wie eine Welle verhält, sich in bestimmten Experimenten wie ein Teilchen verhalten kann, könnte es dann nicht auch umgekehrt sein? Könnte sich ein Teilchen in manchen Experimenten nicht auch wie eine Welle verhalten? Diese Idee wurde 1924 in der Doktorarbeit des französischen Physikers Louis de Broglie theoretisch untersucht. Er führte den Begriff der Materiewellen ein und legte damit nahe, dass alle Materie Welleneigenschaften hat. Nach drei Jahren wurde ein eindeutiger experimenteller Beweis für de Broglies Hypothese gefunden: Es wurde gezeigt, dass Elektronen an einem Kristall wie Wellen gebeugt werden können.

Ein System, egal wie groß oder klein es ist, kann sich in einem von mehreren (möglicherweise unendlich vielen) Zuständen befinden. Nehmen wir das vorherige Beispiel eines Doppelspaltexperiments mit einzelnen Photonen. Nachdem das Photon (als Teilchen) die andere Seite der Blende mit den beiden Spalten erreicht hat, befindet es sich in einem der beiden Zustände –${\displaystyle |0⟩}$ oder ${\displaystyle |1⟩}$^[1]– je nachdem, durch welchen Spalt (0 oder 1) es hindurchgegangen ist. Klassisch gesehen befindet sich das Photon immer ausschließlich in einem der beiden Zustände ${\displaystyle |0⟩}$ oder ${\displaystyle |1⟩}$(die als Basiszustände bezeichnet werden), aber die quantenmechanische Beschreibung erlaubt es uns, die beiden Zustände auch zu überlagern. Der tatsächliche quantenmechanische Zustand des Photons nach dem Durchgang durch die Spalte ist somit die Superposition (das heißt die Überlagerung) der Zustände ${\displaystyle |0⟩}$ und ${\displaystyle |1⟩}$ und wird geschrieben als ${\displaystyle |\psi ⟩=c_0|0⟩+c_1|1⟩}$, wobei ${\displaystyle c_0}$ und ${\displaystyle c_1}$ Zahlen sind, die mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängen, das Photon im entsprechenden Zustand zu finden. Genauer gesagt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Photon durch den Spalt 0 gegangen ist, ${\displaystyle {\left|c_0\right|}^2}$ und die Wahrscheinlichkeit, dass es durch den Spalt 1 gegangen ist, ${\displaystyle {\left|c_1\right|}^2}$. Da das Photon durch einen der beiden Spalte gegangen sein muss, gilt ${\displaystyle {\left|c_0\right|}^2+{\left|c_1\right|}^2=1}$.

Photonen sind nicht die einzigen Teilchen, die sich in einer Überlagerung von Zuständen befinden können. So gut wie jedes Objekt – sei es so klein wie ein Elektron oder so groß wie das gesamte Universum – hat diese Eigenschaft. Bei makroskopischen Systemen ist es jedoch nahezu unmöglich, zwischen verschiedenen Zuständen zu unterscheiden, sodass Quanteneffekte am besten bei mikroskopischen Objekten beobachtet werden können.

In einer klassischen Welt können wir die Größe eines Systems (z. B. die Länge eines Tisches) so oft messen, wie wir möchten, ohne dass der Messvorgang den Zustand des Systems beeinflusst. In einer Quantenwelt sieht es jedoch anders aus.

Das Ergebnis (oder der Ausgang) der Messung ist eine Zahl (ggf. mit Einheiten), die einem der Basiszustände entspricht. Im vorigen Beispiel waren ${\displaystyle |0⟩}$ und ${\displaystyle |1⟩}$ zwei Basiszustände, und die entsprechenden Ergebnisse hätten beispielsweise 0 (das Photon ist durch den Spalt 0 gegangen) und 1 (das Photon ist durch den Spalt 1 gegangen) sein können. Im Verlauf der Messung geht jede Unsicherheit verloren. Angenommen, das Ergebnis der Messung ist 1. Das bedeutet, dass unmittelbar nach der Messung eine Wahrscheinlichkeit von 100% besteht, dass sich das System im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ befindet, und eine Wahrscheinlichkeit von 0%, dass es sich im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ befindet. Das würde jedoch bedeuten, dass sich der Zustand des Systems von ${\displaystyle |\psi ⟩=c_0|0⟩+c_1|1⟩}$ zu ${\displaystyle |{\psi }^{\prime }⟩=|1⟩}$ verändert hat. Wir können sagen, dass der ursprüngliche Zustand zerstört wurde: Jede Messung an einem Quantensystem ist destruktiv.

Es gibt da also ein großes Problem. Angenommen, das System befindet sich im Zustand ${\displaystyle |\psi ⟩=c_0|0⟩+c_1|1⟩}$. Um die Werte der Koeffizienten ${\displaystyle c_0}$ und ${\displaystyle c_1}$ herauszufinden, sollten mehrere Messungen am System vorgenommen werden. Auf diese Weise erhält man eine Statistik. Das Problem hierbei ist jedoch, dass man das System nicht mehrmals zerstörungsfrei messen kann, da jede Messung ${\displaystyle c_0}$ und ${\displaystyle c_1}$ verändert. Dieses Problem lässt sich, zumindest teilweise, auf verschiedene Weise lösen. Die einfachste besteht darin, mehrere identische Kopien des Systems anzufertigen (je mehr, desto besser) und diese dann unabhängig voneinander zu messen. Die relative Häufigkeit jedes Ergebnisses (0 oder 1) kann dann als Schätzung für die Quadrate der entsprechenden Koeffizienten (${\displaystyle {\left|c_0\right|}^2}$ oder ${\displaystyle {\left|c_1\right|}^2}$) herangezogen werden. Die physikalische Umsetzung dieses Vorhabens ist jedoch alles andere als trivial.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ gemessen wird, beträgt ${\displaystyle {\left(\left|0.6\right|\right)}^2=36\mathrm{\%}}$, und die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ gemessen wird, ${\displaystyle {\left|0.8\right|}^2=64\mathrm{\%}}$. Das Ergebnis der Messung ist somit nicht deterministisch.
2. Das Ergebnis der Messung entspricht einem der Basiszustände, in diesem Fall ${\displaystyle |0⟩}$, und der ursprüngliche Zustand des Systems kollabiert zu ${\displaystyle |0⟩=1|0⟩+0|1⟩}$: Die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ gemessen wird, ist ${\displaystyle {\left|1\right|}^2=100\mathrm{\%}}$, und die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ gemessen wird, ist ${\displaystyle {\left|0\right|}^2=0\mathrm{\%}}$. Das bedeutet, dass in diesem speziellen Fall das Messergebnis deterministisch ${\displaystyle 0}$ ist.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ gemessen wird, beträgt ${\displaystyle 36\mathrm{\%}}$, und die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ gemessen wird, beträgt ${\displaystyle 64\mathrm{\%}}$ [siehe Frage 1]. Das bedeutet, dass ungefähr ${\displaystyle 1000\times 0.36=360}$ Mal ${\displaystyle 0}$ und ungefähr ${\displaystyle 1000\times 0.64=640}$ Mal ${\displaystyle 1}$ herauskommen wird.
4. Der Mittelwert ist per Definition die Summe der Produkte aus dem Ergebnis und der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Somit beträgt der Mittelwert des Ergebnisses ${\displaystyle 0\times 0.36+1\times 0.64=0.64}$.