Wahrscheinlichkeitstheorie – von klassisch bis quantenmechanisch

Material 

• Papier und Bleistift
• Münzen, Würfel, verschiedenfarbige Murmeln

Grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitstheorie

Ein Ereignisraum (in der Regel mit Ω bezeichnet) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
Beim Werfen einer Münze ist der Ereignisraum beispielsweise {Kopf, Zahl}. Beim Werfen eines sechsseitigen Würfels ist der Ereignisraum {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ereignisse (E) sind bestimmte Mengen (Teilmengen) von Ergebnissen aus dem Ereignisraum.
Ein Ereignis E ist eine Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Bei einem Münzwurf könnte ein Ereignis „Kopf“ und ein anderes Ereignis „Zahl“ sein. Es gibt sogar ein Ereignis, das alle möglichen Ergebnisse umfasst: „Kopf oder Zahl“.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Die Wahrscheinlichkeit $p\left(E\right)$ eines Ereignisses $E$ ist eine Zahl zwischen 0 und 1, sodass gilt:

• $p\left(E\right)=0$ genau dann, wenn $E$ nicht eintreten kann;
• $p\left(E\right)=1$ genau dann, wenn $E$ sicher ist;
• $0<p\left(E\right)<1$ in allen anderen Fällen.

Wahrscheinlichkeiten vergleichen

Wenn $p\left(A\right)>p\left(B\right)$, ist das Ereignis $A$ wahrscheinlicher als das Ereignis $B$.

Komplementäres Ereignis

Das komplementäre Ereignis eines Ereignisses $E$, oft als $\text{not E}$, $\overline{E}$ oder $-E$ geschrieben, ist eine Menge aller möglichen Ergebnisse eines Ereignisraums, mit Ausnahme des Ereignisses $E$ selbst. Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines komplementären Ereignisses erfüllen die Gleichung: $p\left(\text{not E}\right)=1-p\left(E\right)$.

Klassische Wahrscheinlichkeitstheorie – Beispiele

Wahrscheinlichkeitstheorie in der Quantenphysik

Im Folgenden werden wir einige Notationen und Begriffe der Quantenphysik verwenden, die in anderen Unterrichtseinheiten erklärt werden. Der Kontext, d. h. die Bedeutung der Symbole, kann ignoriert werden; es soll hier nur um die mathematischen Formeln gehen. Anstatt den allgemeinen Fall eines beliebigen Quantensystems zu betrachten, werden wir im Folgenden gleich auf das spezielle Beispiel eines Qubits eingehen.

In der Quantenphysik existiert ein Qubit nicht einfach entweder im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ oder im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$– zumindest nicht, bevor eine Messung an dem System durchgeführt wird (siehe „Grundlagen der Quantenphysik“). Stattdessen kann es sich in einer Superposition der Zustände ${\displaystyle |0⟩}$ und ${\displaystyle |1⟩}$ befinden, und man kann lediglich Aussagen darüber treffen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten es im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ oder im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ gemessen wird.

Darstellung eines Qubits

Ein Qubit wird normalerweise durch seinen Zustand ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|0⟩+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|1⟩}$ beschrieben, wobei ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ und ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ komplexe Zahlen sind mit der Eigenschaft ${\displaystyle {\left|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right|}^2=1}$. Zur Ket-Notation ${\displaystyle |⟩}$ siehe die Unterrichtseinheit Matrizen und wie sie im Quantencomputing eingesetzt werden. Eine Einführung in komplexe Zahlen findet sich in dieser Unterrichtseinheit.

Eine Messung an einem Qubit durchführen

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Qubit im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ gemessen wird, beträgt ${\displaystyle {\left|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right|}^2}$.

Entsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Qubit im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ gemessen wird, ${\displaystyle {\left|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right|}^2}$

Wie in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie müssen diese Werte zusammen 1 ergeben, aber das Vorhandensein komplexer Zahlen ermöglicht Interferenzeffekte, siehe „Grundlagen der Quantenphysik“.

Wahrscheinlichkeit in der Quantenphysik – Beispiele

Aufgaben für Schüler*innen

Das Quiz gibt es als download als docx und pdf.

Außerdem können Sie das Quiz als interaktives Format mit diesem Link direkt an Ihre Schüler*innen senden.