Qubits in der Bloch-Kugel-Darstellung

Material 

• Papier und Bleistift

Grundgedanke

Betrachten wir ein Qubit, das durch ${\displaystyle |\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩}$ dargestellt wird, wobei im allgemeinen Fall ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ komplexe Zahlen sind. Auf den ersten Blick sind vier Parameter – die Real- und Imaginärteile von ${\displaystyle \alpha }$ sowie die Real- und Imaginärteile von ${\displaystyle \beta }$– erforderlich, um den Zustand des Qubits zu bestimmen.

Der Zustand des Qubits kann auch in exponentieller Form geschrieben werden:

${\displaystyle |\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩=\left|\alpha \right|e^{i{\phi }_{\alpha }}|0⟩+\left|\beta \right|e^{i{\phi }_{\beta }}{|1⟩}^{}}$

In dieser Gleichung werden zwei reelle Zahlen ( ${\displaystyle \left|\alpha \right|}$ und ${\displaystyle \left|\beta \right|}$) und zwei Winkel ( ${\displaystyle {\phi }_{\alpha }}$ und ${\displaystyle {\phi }_{\beta }}$) benötigt, um den Zustand des Qubits zu beschreiben – also immer noch vier Parameter.

Eliminierung zweier Parameter

Man kann nun ${\displaystyle e^{i{\phi }_{\alpha }}}$ herausziehen:

${\displaystyle |\psi ⟩=e^{i{\phi }_{\alpha }}(\left|\alpha \right||0⟩+\left|\beta \right|e^{i({\phi }_{\beta }-{\phi }_{\alpha })}|1⟩)}$

oder nach Weglassen der globalen Phase ${\displaystyle e^{i{\phi }_{\alpha }}}$:

${\displaystyle |\psi ⟩=\left|\alpha \right||0⟩+\left|\beta \right|e^{i\phi }|1⟩}$,

wobei ${\displaystyle \phi ={\phi }_{\beta }-{\phi }_{\alpha }}$.

Die messbaren Eigenschaften des Qubit-Zustands hängen nur von ${\displaystyle \left|\alpha \right|}$, ${\displaystyle \left|\beta \right|}$ und der relativen Phase ${\displaystyle \phi }$ ab. Die globale Phase spielt für die Messung keine Rolle. Damit benötigen wir nur noch drei Parameter, um den Qubit-Zustand zu beschreiben.

→ Durch die Eliminierung einer globalen Phase bleiben uns drei Parameter.

Wenn man eine Messung an einem Qubit durchführt, das durch den Zustand ${\displaystyle |\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩}$ beschrieben wird, ist die Wahrscheinlichkeit, es im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ zu finden, ${\displaystyle {\left|\alpha \right|}^2}$, und die Wahrscheinlichkeit, es im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ zu finden, ${\displaystyle {\left|\beta \right|}^2}$(siehe Grundlagen der Quantenphysik). Die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten ist 1 (Normierungsrelation):

${\displaystyle {\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1}$.

Schauen wir uns nun eine sehr ähnliche Gleichung an, die wir aus der Trigonometrie kennen. Die Gleichung gilt für jeden Winkel, aber aus Gründen, die später klar werden, wählen wir den Winkel ${\displaystyle \frac{\theta }{2}}$.

${\displaystyle {\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}=1}$.

Durch Vergleich der beiden Gleichungen kann man ${\displaystyle \left|\alpha \right|}$ und ${\displaystyle \left|\beta \right|}$ als Funktion des Winkels ${\displaystyle \theta }$ schreiben:

${\displaystyle \left|\alpha \right|=\cos \frac{\theta }{2}}$ und ${\displaystyle \left|\beta \right|=\sin \frac{\theta }{2}}$,

mit ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$.

Oder, wenn wir zur allgemeinen Beschreibung eines Qubit-Zustands zurückkehren:

${\displaystyle |\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\phi }|1⟩}$.

Das Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$ spiegelt die Tatsache wider, dass aufgrund der Normierungsrelation ${\displaystyle {\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1}$ ${\displaystyle \left|\alpha \right|}$ und ${\displaystyle \left|\beta \right|}$ reelle Zahlen zwischen 0 und 1 sind: ${\displaystyle \left|\alpha \right|,\left|\beta \right|\in [0,1]}$. ${\displaystyle \left|\alpha \right|}$ und ${\displaystyle \left|\beta \right|}$ können als Koordinaten auf einem Viertelkreis im ersten Quadranten der Kugel visualisiert werden (beide Zahlen sind positiv).

→ Aufgrund der Normierungsrelation ${\displaystyle {\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1}$ haben wir nur noch zwei Parameter. 

Fazit

Fasst man all das zusammen und schreibt ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ als Funktion von ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle \phi }$, führt dies zur Bloch‑Kugel‑Darstellung eines Qubit‑Zustands:

${\displaystyle |\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\phi }|1⟩}$,

mit ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]}$ und ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$.

Auf der Bloch‑Kugel gilt:

• ${\displaystyle \theta }$(der Polarwinkel) geht von 0 bis π;
• ${\displaystyle \phi }$(der Azimutwinkel) geht von 0 bis 2π.

→ Es reichen zwei Parameter aus, um einen Qubit‑Zustand zu beschreiben: zwei Winkel. 

Jedes Winkelpaar ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ entspricht genau einem Punkt auf der Oberfläche der Einheitskugel und somit einem eindeutigen Qubit‑Zustand (bis auf eine globale Phase).

Spezialfälle

Aufgaben für Schüler*innen

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