Kurze Einführung in komplexe Zahlen

Übersicht

Sekundarstufe

Mathematik

Quantencomputing

Deutsch

Auf einen Blick

Schlüsselbegriffe: Komplexe Zahlen
Alter: 16 – 18 Jahre
Erforderliche Kenntnisse/Fähigkeiten: keine
Zeitrahmen: 30 Minuten

Dieser Abschnitt ist Teil der Unterrichtseinheit Grundlagen des Quantencomputings – Mathematische Grundlagen von Natalija Budinski (RS).

Inhaltsübersicht

Mit komplexen Zahlen rechnen
Mit komplexen Zahlen Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Aufgaben für Schüler*innen

Zusammenfassung

In dieser Unterrichtseinheit werden die Lernenden in die komplexen Zahlen eingeführt und erfahren, wie sie sowohl in der Mathematik als auch im Quantencomputing verwendet werden.

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Lernziele Lernziele

In dieser Unterrichtseinheit werden die Schüler*innen in komplexe Zahlen eingeführt und lernen, wie diese sowohl in der Mathematik als auch in der Quanteninformatik verwendet werden.

lernen die algebraische Form einer komplexen Zahl, z = x + iy, und ihre Darstellung in einer Ebene kennen;
führen arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) durch;
berechnen den Betrag einer komplexen Zahl;
entdecken, wie komplexe Zahlen in der Quanteninformatik verwendet werden und wie diese das Quantenverhalten beschreiben.

Zur Geschichte der Komplexen Zahlen Zur Geschichte der Komplexen Zahlen

Historisch gesehen stieß das Konzept imaginärer Zahlen zunächst auf Skepsis. Im 16. Jahrhundert untersuchten Mathematiker wie Gerolamo Cardano und Niccolò Tartaglia die Wurzeln kubischer Glei-chungen und führten imaginäre Zahlen ein, um diese Gleichungen zu lösen. Später definierte und führte Leonhard Euler die imaginäre Zahl i ein, die den Grundstein für komplexe Zahlen legte. Seine Arbeit formalisierte viele zentrale Eigenschaften, die wir bis heute in zahlreichen Bereichen des Ingenieurwesens und der Programmierung verwenden.

Material

Papier und Bleistift

Mit komplexen Zahlen rechnen

Eine komplexe Zahl schreibt man in der Form $z = x + i y$ , wobei $x$ und $y$ reelle Zahlen sind und $i$ die Gleichung $i^{2} = - 1$ erfüllt. $x$ wird als Realteil der komplexen Zahl und $y$ als Imaginärteil bezeichnet. Dies kann auch wie folgt geschrieben werden: $Re z = x$ und $Im z = y$ .

Die grundlegenden Rechenregeln für komplexe Zahlen lauten:

Addition und Subtraktion: $(x_{1} + i y_{1}) \pm (x_{2} + i y_{2}) = (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2})$
Multiplikation: $(x_{1} + i y_{1}) (x_{2} + i y_{2}) = x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$
Betrag: $| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Beispiel 1:

Rechnen wir ein bisschen mit den beiden komplexen Zahlen $z_{1} = 1 + 2 i$ und $z_{2} = 3 - 4 i$ .

Addition und Subtraktion
Berechne $z_{1} + z_{2}$ und $z_{1} - z_{2}$ .
Lösung:
$z_{1} + z_{2} = (1 + 2 i) + (3 - 4 i) = 4 - 2 i$
$z_{1} - z_{2} = (1 + 2 i) - (3 - 4 i) = - 2 + 6 i$
Multiplikation
Berechne $z_{1} z_{2}$ .
Lösung: $z_{1} z_{2} = (1 + 2 i) (3 - 4 i) = 11 + 2 i$
Betrag
Berechne $| z_{1} |$ und $| z_{2} |$ .
Lösung: $| z_{1} | = \sqrt{5}$ und $| z_{2} | = 5$

Mit komplexen Zahlen Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Im Quantencomputing stößt man häufig auf die folgende Gleichung:
$| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩$ .

Diese Gleichung beschreibt die Superposition zweier Basiszustände eines Qubits. Qubits ist eine Abkürzung für Quantenbits: Sie sind die Grundbausteine, mit denen ein Quantencomputer seine Berechnungen durchführt. Wir behandeln die obige Gleichung zunächst als Black Box und erwähnen nur, was die einzelnen Symbole bedeuten, damit Sie und Ihre Schüler*innen sich an diese Begriffe und Konzepte gewöhnen können. Machen Sie sich also keine Sorgen, wenn Sie an dieser Stelle noch nicht alles verstehen.

$ψ$ heißt Wellenfunktion und beschreibt die Eigenschaften des gesamten Systems (in diesem Fall die Superposition der beiden Basiszustände eines Qubits). Die Ket-Notation $| ⟩$ kann als „der Zustand von“ gelesen werden (siehe dazu auch Matrizen und ihre Verwendung im Quantencomputing). $| 0 ⟩$ und $| 1 ⟩$ sind die beiden möglichen Zustände, die ein Qubit annehmen kann.

Beispiel: Beim Werfen einer Münze kann die Münze zwei Zustände annehmen: „Kopf“ oder „Zahl“.

α und β sind zwei komplexe Zahlen, die als Amplituden bezeichnet werden. Die Betragsquadrate dieser Amplituden, ${| α |}^{2}$ und ${| β |}^{2}$ , stellen die Wahrscheinlichkeiten dar, mit denen das System bei einer Messung im Zustand $| 0 ⟩$ bzw. im Zustand $| 1 ⟩$ vorgefunden wird.

Beispiel: Beim Werfen einer Münze (Durchführen einer Messung) besteht eine 50:50-Chance, dass die Münze auf „Kopf“ landet, und eine 50:50-Chance, dass sie auf „Zahl“ landet. In diesem Fall kann die obige Gleichung wie folgt geschrieben werden:
$| eine Münze, die geworfen wird ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | Kopf ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | Zahl ⟩$ .

In diesem Fall sind die Amplituden reelle Zahlen. Wenn man sie quadriert, erhält man 1/2, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ zu erhalten, 1/2 beträgt, und die Wahrscheinlichkeit, „Zahl“ zu erhalten, ebenfalls 1/2 beträgt.

Im Allgemeinen haben die Amplituden sowohl einen reellen als auch einen imaginären Teil, um spezielle Verhaltensweisen zu beschreiben, die in der Quantenphysik beobachtet werden.

Beispiel 1 Beispiel 1

Angenommen, wir haben ein Qubit im Zustand: $| ψ ⟩ = \frac{\sqrt{2}}{2} | 0 ⟩ + \frac{\sqrt{2}}{2} | 1 ⟩$

In diesem Fall sind $α$ und $β$ reelle Zahlen: $α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ und $β = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Quadrieren der Beträge von $α$ und $β$ ergibt:

$| α |^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$

$| β |^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Qubit im Zustand $| 0 ⟩$ gemessen wird, $\frac{1}{2}$ ,
und die Wahrscheinlichkeit, dass es im Zustand $| 1 ⟩$ gemessen wird, ebenfalls $\frac{1}{2}$ .

Beispiel 2 Beispiel 2

Angenommen, wir haben ein Qubit im Zustand:

$| ψ ⟩ = \frac{\sqrt{3}}{2} | 0 ⟩ + \frac{1}{2} | 1 ⟩$

Damit ist $α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $β = \frac{1}{2}$ . Und:

${| α |}^{2} = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ ,

${| β |}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

Auch hier addieren sich die Quadrate der Koeffizienten zu 1: ${| α |}^{2} + {| β |}^{2} = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Qubit im Zustand $| 0 ⟩$ gemessen wird, $\frac{3}{4}$ ,
und die Wahrscheinlichkeit, dass es im Zustand $| 1 ⟩$ gemessen wird, $\frac{1}{4}$ .

Aufgaben für Schüler*innen

Das Quiz gibt es als download als docx und pdf.

Außerdem können Sie das Quiz als interaktives Format mit diesem Link direkt an Ihre Schüler*innen senden.

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