Vektoren

Material 

• Papier und Bleistift

Was ist ein Vektor?

Eigenschaften

• Ein Vektor hat sowohl eine Größe als auch eine Richtung.
• Der Nullvektor hat keine Richtung und seine Größe ist null.
• Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung haben.
• Ein Vektor wird normalerweise durch einen Buchstaben mit einem Pfeil darüber dargestellt: ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$. Es werden auch andere Notationen verwendet, z. B. v, v, v̄.

Geometrische Darstellung eines Vektors

Die geometrische Addition zweier Vektoren erfolgt, indem man den Anfangspunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors setzt. Der resultierende Vektor beginnt am Anfangspunkt des ersten Vektors und endet am Endpunkt des zweiten Vektors. Diese Methode kann auf eine beliebige Anzahl von Vektoren angewendet werden.

Koordinatendarstellung von Vektoren

Ein Vektor kann auch in einem Koordinatensystem dargestellt werden. In zwei Dimensionen schreibt man einen Vektor ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ als Zeilenvektor, ${\displaystyle \overrightarrow{v}=(x,y)}$, oder als Spaltenvektor, ${\displaystyle \overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]}$. In beiden Fällen können ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ reelle oder komplexe Zahlen sein.

Ein Zeilenvektor ist lediglich die „horizontale“ Version eines Spaltenvektors. Um einen Zeilenvektor in einen Spaltenvektor umzuwandeln (und umgekehrt), wird der Zeilenvektor transponiert – diese Operation wird mit T bezeichnet: 
${\displaystyle (x,y{)}^T=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]}$.

Grundlegende Vektoroperationen

Addition:

Für zwei Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x_1,y_1)}$ und ${\displaystyle \overrightarrow{v}=(x_2,y_2)}$ ist:

${\displaystyle \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)}$.

Subtraktion:

Für zwei Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x_1,y_1)}$ und ${\displaystyle \overrightarrow{v}=(x_2,y_2)}$ ist:

${\displaystyle \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2)}$.

Multiplikation mit einem Skalar:

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalar) skaliert seine Größe, ohne seine Richtung zu ändern (es sei denn, der Skalar ist negativ, was auch seine Richtung umkehrt).

Für einen Vektor ${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x_1,x_2)}$ und einen Skalar ${\displaystyle k}$ ist:

${\displaystyle k\overrightarrow{u}=k(x_1,x_2)=(k{x}_1,k{x}_2)}$.

Skalarprodukt:

Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren so multipliziert, dass man einen Skalar erhält. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x_1,y_1)}$ und ${\displaystyle \overrightarrow{v}=(x_2,y_2)}$ ist:

${\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}$.

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren null, ${\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0}$, dann sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander.

Länge (Betrag) eines Vektors ${\displaystyle \overrightarrow{u}=(x_1,y_1)}$:

${\displaystyle \Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$.

Der Winkel ${\displaystyle \theta }$ zwischen zwei Vektoren kann folgendermaßen bestimmt werden:

${\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert \cos \theta }$, und daher:

${\displaystyle \theta =\arccos (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})}$.

Mit Vektoren rechnen – Beispiele

Vektoren im Quantencomputing

Formal betrachtet ist der Zustand eines Qubits ein Einheitsvektor in ${\displaystyle {\mathbb{C}}^2}$, dem zweidimensionalen komplexen Vektorraum.

Ein einzelnes Qubit kann durch einen zweidimensionalen komplexen Vektor ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|0⟩+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|1⟩}$ dargestellt werden, wobei ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ und ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ komplexe Zahlen sind, die folgende Bedingungen erfüllen: ${\displaystyle {\left|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right|}^2+{\left|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\right|}^2=1}$, und ${\displaystyle |0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]}$ und ${\displaystyle |1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]}$.

Zum Beispiel kann der Zustand ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩}$ durch den Vektor ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]}$ dargestellt werden, und der Zustand ${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}i|⟩}$ durch den Vektor ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]}$.

Aufgaben für Schüler*innen

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