Qubits, Quantengatter und Quantenschaltkreise – aus der Informatikperspektive: Teil 3 Das CNOT-Gatter und Verschränkung

Inhalt Teil 3

1. Das CNOT‑Gatter – ein Gatter, das auf zwei Qubits wirkt
2. Mit einem Hadamard‑ und einem CNOT‑Gatter zwei Qubits verschränken
3. Aufgaben

1. Das CNOT‑Gatter – ein Gatter, das auf zwei Qubits wirkt

Einige Quantengatter wirken auf mehr als ein Qubit, zum Beispiel das CNOT‑Gatter (auch „kontrolliertes NOT‑Gatter“ genannt). Es wendet das Pauli‑X‑Gatter (auch NOT‑Gatter genannt) genau dann auf ein Qubit an, wenn sich ein anderes Qubit, das sogenannte Kontroll‑Qubit, im Zustand ${\displaystyle |1⟩}$ befindet.

Die Matrix des CNOT‑Gatters ist: 
  $\mathrm{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$.

Nehmen wir an, das erste Qubit, das Kontroll‑Qubit, befindet sich im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$, und das zweite Qubit ebenfalls im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$. Die Kombination dieser beiden Qubits kann in der Bra‑Ket‑Notation durch ${\displaystyle |00⟩}$ dargestellt werden. Der entsprechende Vektor ist $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$(siehe Teil 1: Qubits und ihre Darstellungsweisen).

2. Mit einem Hadamard‑ und einem CNOT‑Gatter zwei Qubits verschränken

Mit dem CNOT‑Gatter lassen sich zwei Qubits verschränken. Das Vorgehen ist wie folgt: 
 

1. Man startet mit zwei Qubits im Zustand ${\displaystyle |00⟩}$.

2. Auf das erste Qubit wird ein Hadamard‑Gatter angewendet (siehe Abschnitt „Das Hadamard‑Gatter“ in Teil 2):

   ${\displaystyle H\cdot |0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\cdot |0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |1⟩}$.

   Das erste Qubit befindet sich nun in einem Superpositionszustand, während das zweite Qubit im Zustand ${\displaystyle |0⟩}$ bleibt. 
   Der Zustand dieses Zwei‑Qubit‑Systems kann daher geschrieben werden als   ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |00⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |10⟩}$.

   Oder in Vektornotation: ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]}$.  

3. Nun wird auf diesen Zustand ein CNOT‑Gatter angewendet:

   $\begin{array}{c}\mathrm{CNOT}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[|00⟩+|11⟩\right]\end{array}$

   Dies ist der Zustand zweier verschränkter Qubits. Warum? Schauen wir uns das nun genauer an.

Im Allgemeinen kann man die Zustände zweier Qubits (in einem beliebigen Zustand) als Kronecker‑Produkt zweier Vektoren schreiben – jeder Vektor repräsentiert ein Qubit:

${\displaystyle \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]}$, wobei ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ jeweils ${\displaystyle 0}$ oder ${\displaystyle 1}$ sind.

Berechnet man das Kronecker‑Produkt, erhält man:

${\displaystyle \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\cdot \left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]\\ b\cdot \left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ac\\ ad\\ bc\\ bd\end{array}\right]}$.

Betrachten wir nun beispielsweise den Superpositionszustand ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(|00⟩+|10⟩\right)}$, der ein System aus zwei Qubits beschreibt. Der Zustand kann in Vektornotation geschrieben werden als:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(|00⟩<!--\; ⟩\; -->+|11⟩<!--\; ⟩\; -->\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]}$.

Vergleicht man diesen Vektor mit dem allgemeinen Vektor, der zwei Qubits beschreibt, ${\displaystyle \left[\begin{array}{c}ac\\ ad\\ bc\\ bd\end{array}\right]}$, so ergibt sich:   ${\displaystyle ac=bd=1}$ und ${\displaystyle ad=bc=0}$.

Für dieses Gleichungssystem gibt es keine Lösung (die ersten beiden Gleichungen sind genau dann erfüllt, wenn ${\displaystyle a=b=c=d=1}$, die anderen beiden Gleichungen jedoch erfordern, dass entweder ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle d}$, beziehungsweise ${\displaystyle b}$ oder ${\displaystyle c}$ gleich ${\displaystyle 0}$ sein muss).

Das bedeutet, dass der Zustand ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(|00⟩+|11⟩\right)}$ nicht als Kronecker‑Produkt zweier Qubit‑Zustände geschrieben werden kann: Die beiden Qubits sind verschränkt.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Wendet man ein Hadamard‑Gatter gefolgt von einem CNOT‑Gatter auf ein Zwei‑Qubit‑System an, so werden die beiden Qubits verschränkt.

Abb. 1: Ein Quantenschaltkreis mit zwei Qubits, zwei Gattern und zwei Messungen. Auf das erste Qubit q0 wird ein Hadamard‑Gatter angewendet. Anschließend wird ein CNOT‑Gatter auf das Zwei‑Qubit‑System angewandt (bestehend aus q1 und dem Ergebnis der Hadamard‑Operation auf q0). Nach dieser Operation wird jedes Qubit gemessen. Die Messergebnisse werden in den klassischen Registern c0 und c1 gespeichert. 

Abb. 2: Ein Hadamard‑Gatter und ein CNOT‑Gatter werden auf zwei Qubits im Zustand ${\displaystyle |00⟩}$ angewendet – wie im Quantenschaltkreis in Abb. 1 dargestellt. Die beiden Qubits werden entweder im Zustand ${\displaystyle |00⟩}$ oder im Zustand ${\displaystyle |11⟩}$ gemessen, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes dieser beiden Messergebnisse jeweils 50 % beträgt. 

Aufgaben

Aufgabe 1. Überprüfe alle oben aufgeführten Beispiele – bei denen ein Gatter auf ein oder zwei Qubits angewendet wird –, indem du die dazugehörigen Quantenschaltkreise erstellst. Siehe dazu Quantenschaltkreise programmieren.

Aufgabe 2. Überprüfe alle oben aufgeführten Beispiele – bei denen ein Gatter auf ein oder zwei Qubits angewendet wird – in einer lokalen Qiskit‑Umgebung. Trage deinen API‑Token für das IBM‑Quantum‑System ein und führe die Programme aus.

Aufgabe 3. Wende das NOT‑Gatter auf die Superpositionszustände ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |1⟩}$ und ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |1⟩}$ an. Du kannst dazu entweder die Matrix‑Schreibweise und die Bra‑Ket‑Notation verwenden oder einen Quantenschaltkreis aufbauen bzw. Qiskit‑Code erstellen. Beschreibe das Ergebnis in eigenen Worten.

Aufgabe 4. Nimm das Beispiel eines Hadamard‑Gatters, das auf ein Qubit angewendet wird. Erkläre, warum man sagt, dass „eine Messung den Quantenzustand eines Systems reduziert“ (oder: „der Quantenzustand kollabiert“) und warum mehrere Messungen notwendig sind, um ein „vernünftiges“ Ergebnis zu erhalten.

Aufgabe 5. Überprüfe, ob die beiden Qubits, die durch den Zustand   ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(|11⟩+|01⟩\right)}$ beschrieben werden, verschränkt sind. Was gilt für zwei Qubits, die durch den Zustand ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(|01⟩+|10⟩\right)}$ dargestellt werden? Verwende dazu die in Teil 3 „2. Mit einem Hadamard‑ und einem CNOT‑Gatter zwei Qubits verschränken“ beschriebene Methode.

Aufgabe 6. Verwende print(circuit), um einen der Quantenschaltkreise aus Aufgabe 1 auszugeben, einmal vor dem Optimierungsschritt und einmal danach. Beschreibe, was du bemerkst. Falls im Optimierungsschritt Quantengatter verwendet werden, die du noch nicht kennst, recherchiere, durch welche Matrix sie repräsentiert werden können und was sie bewirken.

Aufgabe 7. Verwende die folgenden Codezeilen, um den Quantenschaltkreis als Bild (PNG, SVG oder LaTeX) zu erzeugen und zu speichern – einmal vor dem Optimierungsschritt und einmal danach. Beschreibe, was du bemerkst. Falls im Optimierungsschritt Quantengatter verwendet werden, die du noch nicht kennst, recherchiere, welche Matrix sie repräsentieren und was sie bewirken.

# Zum Zeichnen von Quantenschaltkreisen
from qiskit.visualization import circuit_drawer 

# Verwendet Matplotlib zur Erstellung der Grafik; falls LaTeX installiert ist, kann auch "latex" verwendet werden 
circuit_image = circuit_drawer(circuit, output="mpl") 
# Speichere die Abbildung als Pixelgrafik (PNG)
circuit_image.savefig("Circuit (MPL).png")
# Speichere die Abbildung als Vektorgrafik (SVG)
circuit_image.savefig("Circuit (MPL).svg") 

Aufgabe 8. Überprüfe die im Unterricht durchgeführten Matrizenrechnungen, also für das Pauli‑X‑Gatter, das Identitätsgatter, das Hadamard‑Gatter, das CNOT‑Gatter sowie für die Kombination aus Hadamard‑ und CNOT‑Gatter. Vergleiche die theoretischen und die gemessenen Ergebnisse, das heißt: Berechne die Quadrate der Amplituden und damit die Wahrscheinlichkeiten, mit denen das Qubit (bzw. die Qubits) in den verschiedenen Zuständen gefunden wird (werden), und vergleiche diese Wahrscheinlichkeiten mit den vom Quantencomputer ausgegebenen Ergebnissen.
 

Aufgabe 9 (optional). Neben dem Pauli‑X‑Gatter gibt es auch ein Pauli‑Y‑Gatter und ein Pauli‑Z‑Gatter. Recherchiere deren Matrixdarstellungen und untersuche ihr Verhalten in einem Quantenschaltkreis.

Aufgabe 10 (optional). Im Allgemeinen kann ein Quantenschaltkreis durch einen anderen äquivalenten Quantenschaltkreis ersetzt werden (innerhalb sinnvoller Näherungen). Eine Menge von Quantengattern, mit der sich jeder Quantenschaltkreis ersetzen lässt, wird als universeller Quantengattersatz bezeichnet. Informiere dich über universelle Quantengattersätze. Vergleiche die Quantenschaltkreise, die du vor und nach der Optimierung ausgeführt hast. Bestimme, welcher universelle Quantengattersatz vom Quantencomputer verwendet worden zu sein scheint.

Aufgabe 11 (optional). Recherchiere verschiedene technische Möglichkeiten, wie Qubits in einem Quantencomputer physikalisch realisiert werden können. Stichworte sind zum Beispiel Supraleiter und Ionenfallen.

Aufgabe 12 (optional). Im Jahr 1996 stellte David P. Di Vincenzo Kriterien vor, die ein Quantencomputer erfüllen muss, um funktionsfähig zu sein. Für einen funktionierenden Quantencomputer benötigt man:

Versuche die einzelnen Punkte mit dem in dieser Unterrichtseinheit Gelernten zu erklären. Wenn du nicht weiterkommst, recherchiere im Internet.