Den Deutsch-Algorithmus mit einem Mach-Zehnder-Interferometer implementieren

Lassen Sie uns Theorie und Experiment mit Hilfe einer zusätzlichen Idee zusammenbringen, die zwei Unterrichtseinheiten aus unserem Material verbindet:

Der Algorithmus aus der Unterrichtseinheit "Der Deutsch-Algorithmus: Mathematische Betrachtung" kann mit Hilfe eines Mach-Zehnder Interferometers implementiert werden, das in der Unterrichtseinheit "Photonen auf verschiedenen Lichtwegen" verwendet wird. Die folgende Beschreibung geht davon aus, dass Sie eine Lehrkraft sind, die sich mit den beiden Unterrichtseinheiten befasst hat. Sie wissen wie ein Mach-Zehnder-Interferometer funktioniert, Sie kennen den Deutsch-Algorithmus und möchten einen Schritt weitergehen.

Es gibt zwei Methoden, dies zu tun: eine Version mit einem Qubit, die nur das obere Qubit $q_0$ verwendet, und eine Version mit zwei Qubits, die den gesamten Algorithmus mit beiden Qubits umsetzt. Wir erklären hier die Ein-Qubit-Version, die mit einem einfachen Mach-Zehnder-Interferometer und zwei zusätzlichen Retardern ¹ auskommt. Für die Zwei-Qubit-Version verweisen wir Sie auf die Literatur.

Abbildung 1 zeigt den Deutsch-Algorithmus für die Situation, dass die ‘Black Box’ keine weiteren Quantengatter enthält (wie man es für die Funktion „konstant null“ hätte). Lassen Sie uns von links nach rechts durch die Darstellung gehen. Wir nennen das obere Qubit $q_0$ und das untere $q_1$. Beide sind am Anfang im Zustand $\text{|0⟩}$. $q_1$ wird „umgedreht“ zu $\text{|1⟩}$.

Abbildung 1: Quantenschaltkreis zur Implementierung des Deutsch-Algorithmus. Die Funktion in der ‘Black Box’ ist konstant null, so dass zur Verdeutlichung alle Zustandsvektoren im Bild gezeigt werden können. Das obere Qubit ist $q_0$, das untere $q_1$.

Abbildung 2: Mach-Zehnder-Interferometer, das den Deutsch-Algorithmus für das Qubit $q_0$ implementiert. Die Funktion in der ‘Black Box’ wird als konstant null angenommen.

Die darauf folgenden Hadamard-Gatter erzeugen Superpositionen: $\text{|+⟩}=\frac{\text{|0⟩}+\text{|1⟩}}{\sqrt{2}}$ und $\text{|−⟩}=\frac{\text{|0⟩}-\text{|1⟩}}{\sqrt{2}}$. Hinter der ‘Black Box’ interessiert uns nur das obere im Qubit. Für konstante Funktionen ist $q_0$ im $\text{|+⟩}$-Zustand, während es für ausgeglichene Funktionen im $\text{|−⟩}$-Zustand wäre. Das abschließende Hadamard-Gatter bringt das System für konstante Funktionen in den $\text{|0⟩}$-Zustand, für ausgeglichene Funktionen in den $\text{|1⟩}$-Zustand. Eine Messung ergibt Nullen und Einsen, je nachdem ob die Funktion konstant oder ausgeglichen ist.

Jedes Photon, das durch das Mach-Zehnder-Interferometer geht, macht das Gleiche wie $q_0$, wie Abbildung 2 zeigt. Der Zustand am Anfang ist $\text{|0⟩}$(käme das Photon von oben, wäre der Anfangszustand zum Beispiel $\text{|1⟩}$). Der erste Strahlteiler stellt ein Hadamard-Gatter² dar: Das nichtlokalisierte Photon befindet sich in einer Superposition seiner „Welcher-Weg-Information“. Der zweite Strahlteiler stellt ein weiteres Hadamard-Gatter dar, das das Photon „nach rechts“ ausgibt, was wir dann $\text{|0⟩}$ nennen. Bei einem Laserstrahl hätten wir ein Interferenzmuster, das relativ zum anderen Ausgang des zweiten Strahlteilers invertiert ist. Für die Messung könnten wir dann einen bestimmten Punkt auf dem Schirm (sagen wir in der Mitte) nehmen.

Um die Funktion $f\left(x\right)$ zu implementieren, benötigen wir zwei $\frac{\lambda }{2}$-Retarder, die wir im oberen (für $f\left(0\right)$) oder unteren (für $f\left(1\right)$) Arm des Mach-Zehnder-Interferometers verwenden, oder nicht verwenden. Der Einsatz des $\frac{\lambda }{2}$-Retarders stellt im oberen Arm $f\left(0\right)=1$ und im unteren Arm $f\left(1\right)=1$ ein. Es wird dem interessierten Leser überlassen zu zeigen, dass das Ergebnis für konstante Funktionen immer der rechte Ausgang $\text{|0⟩}$ ist, während das Ergebnis für ausgeglichene Funktionen immer der untere Ausgang ist. Die Zwei-Qubit-Version des Experiments^[3] verwendet zwei Qubits in jedem Photon. Ein Qubit ist die Polarisation des Photons, d. h. Spin-Drehimpuls, das andere sind zwei räumliche Moden ( $\text{TEM₁₀}$ und $\text{TEM₀₁}$) des Lasers, d. h. Bahndrehimpuls. Die Einzelheiten dieses spannenden Experiments würden den Rahmen dieser kurzen Beschreibung sprengen.