Photonen auf verschiedenen Lichtwegen

Lernziele

Material

In dieser Unterrichtseinheit wird ein Mach-Zehnder-Interferometer zusammengebaut.

Zum Zusammenbau des Mach-Zehnder-Interferometers sehen Sie sich bitte dieses Video auf YouTube an:

Sie können das Arbeitsblatt „Das Mach-Zehnder-Interferometer verstehen“ hier als PDF- und DOCX-Datei herunterladen. Schüler*innen können das Mach-Zehnder-Interferometer skizzieren und die Phasenverschiebungen Schritt für Schritt eintragen.

Theoretischer Hintergrund – Das Mach–Zehnder–Interferometer 

Wie bereits in der Unterrichtseinheit 0 festgestellt, besteht Licht aus Photonen. In der Schule sind Experimente mit einzelnen Photonen nur schwer durchzuführen, wir müssen uns also mit einem Laserstrahl mit vielen Photonen zufriedengeben. Die Photonen eines Laserstrahls interagieren allerdings kaum miteinander. Das heißt, dass wir annehmen können, dass die Laserstrahlen in unseren Experimenten aus lauter einzelnen Photonen bestehen. Und dass die Beobachtungen, die wir machen, mit Experimenten mit einzelnen Photonen übereinstimmen.

In einem Mach-Zehnder-Interferometer trifft ein Lichtstrahl zunächst auf einen Strahlteiler und wird in zwei Lichtstrahlen aufgeteilt. Anschließend treffen die beiden Lichtstrahlen auf einen zweiten Strahlteiler und werden wieder zusammenführt. Je nach Phasenunterschied zwischen beiden Strahlen kann auf den Schirmen hinter dem zweiten Strahlteiler ein Interferenzmuster beobachtet werden.

Wir gehen von folgenden Annahmen aus:

• In dem Interferometer arbeiten wir mit idealen Strahlteilern und idealen Spiegeln.
• Bei der Reflexion an einem Spiegel wird der Lichtstrahl um 180° phasenverschoben.
• Bei der Reflexion an einem Strahlteiler wird der Lichtstrahl um 90° phasenverschoben (reale Strahlteiler verursachen eine Phasenverschiebung von 180° an der Vorderseite, keine Phasenverschiebung an der Rückseite.).
• Bei der Transmission gibt es keine Phasenverschiebung.
• An den Spiegeln und an den Strahlteilern bleibt die Lichtenergie (und damit die Lichtintensität) erhalten.
• Wenn wir (theoretisch) ein einzelnes Photon in das Mach-Zehnder-Interferometer senden, kommt auch nur ein einzelnes Photon heraus.

Die Phasenverschiebungen in einem Mach-Zehnder-Interferometer sind in Abb. 3 (für Strahl 1) und Abb. 4 (für Strahl 2) dargestellt. Der Strahlteiler ST1 teilt den Laserstrahl in einen geradlinig verlaufenden Strahl (Strahl 2) und einen nach oben reflektiertem Strahl auf (Strahl 1). Die beiden Strahlen sind um 90° gegeneinander phasenverschoben, da Strahl 1 vom Strahlteiler ST1 reflektiert wird.

Strahl 1 trifft anschließend auf den Spiegel SP1, wo er erneut reflektiert und somit um weitere 180° phasenverschoben wird. Anschließend trifft er auf den Strahlteiler ST2, wo er entweder geradeaus durchgeht oder reflektiert und um weitere 90° phasenverschoben wird. In Richtung von Schirm S1 beträgt die gesamte Phasenverschiebung 90° + 180° + 90° = 360°, während sie in Richtung von Schirm S2 90° + 180° = 270° beträgt.

Strahl 2 geht gerade durch den Strahlteiler ST1 und wird anschließend am Spiegel SP2 reflektiert und um 180° phasenverschoben. Er trifft dann auf den Strahlteiler ST2, wo es wieder zwei Optionen gibt: Der Strahl geht durch den Strahlteiler ST2 und trifft mit einer Phasenverschiebung von 180° auf den Schirm S1, oder er wird an ST2 reflektiert und trifft mit einer Phasenverschiebung von 180° + 90° = 270° auf den Schirm S2.

Am Ende sehen wir auf den beiden Schirmen (S1 und S2) ein Interferenzmuster, das von der Überlagerung von Strahl 1 und Strahl 2 herrührt:

• Auf dem Schirm S1 ist eine destruktive Interferenz zwischen Strahl 1 und Strahl 2 zu sehen: Strahl 1 hat eine Phasenverschiebung von 360° und Strahl 2 eine Phasenverschiebung von 180°, was bedeutet, dass die beiden um 180° phasenverschoben sind.
• Auf dem Schirm S2 ist eine konstruktive Interferenz zwischen Strahl 1 und Strahl 2 zu sehen: Sowohl Strahl 1 als auch Strahl 2 haben eine Phasenverschiebung von 270° – beide Phasen sind gleich.

Wir müssen auch noch berücksichtigen, dass der Laserstrahl einen gewissen Durchmesser hat (er ist nicht punktförmig), was zu zusätzlichen Interferenzmustern auf den beiden Bildschirmen führt.

Aufgaben für Lehrkräfte und Schüler*innen

Die Lehrkraft händigt den Schüler*innen das Aufbauschema eines Mach-Zehnder-Interferometers aus (Abb. 5). Die Lehrkraft weist auf die „Idealisierungen“ hin:

1. Alle optischen Elemente sind ideal.
2. Die Lichtquelle ist monochromatisch und kohärent.
3. Die Strahlteiler sind dünn (keine Phasenverschiebung, wenn Licht durch sie hindurchgeht).
4. Die beiden Lichtwege zwischen den Strahlteilern sind gleich lang.

Das Mach-Zehnder-Interferometer ist eine Apparatur, mit dem die Schüler*innen eine Phasenverschiebung erzeugen und anschließend ein Interferenzmuster beobachten können. Es gibt einen einzigen einfallenden Laserstrahl, was bedeutet, dass in diesem Experiment ein einzelnes Photon simuliert werden kann, das mit sich selbst interferiert.

Ein Photon kann in dem Mach-Zehnder-Interferometer zwei Wege gehen: den von Strahl 1 oder den von Strahl 2. Entfernen wir den zweiten Strahlteiler (ST2), wissen wir, dass ein Photon, das den unteren Weg (Strahl 2) nimmt, auf dem Schirm S1 ankommt, während ein Photon, das den oberen Weg (Strahl 1) nimmt, auf dem Schirm S2 ankommt.

Die Schüler*innen können mit den Elementen des Interferometers herumspielen (Spiegel und Strahlteiler wegnehmen und hinzufügen) und vorhersagen, was in den verschiedenen Fällen auf den beiden Schirmen zu sehen sein wird.

Verbindung zum Quantencomputing

Nun machen wir einen Riesensprung zum Thema Quantencomputing. Die Schüler*innen sollten an dieser Stelle schon einmal etwas von Qubits (und ihre Basiszustände), Quantengattern und der Bra-Ket-Notation gehört haben. Siehe dazu z. B. auch die Unterrichtseinheit „Grundlagen des Quantencomputings“. 

Die grundlegenden Bausteine eines Quantencomputers sind Qubits und Quantengatter. Ein Qubit kann auf verschiedene Weise physikalisch hergestellt werden. Wichtig ist, dass es „etwas“ ist, das zwei Zustände einnehmen kann. In der vorherigen Unterrichtseinheit („Mit Licht spielen“) haben wir gesehen, dass Polarisationsrichtungen als zwei Basisvektoren verwendet werden können. Diese beiden Basisvektoren können als Basiszustände eines Qubits aufgefasst werden. In der folgenden Unterrichtseinheit („Laserstrahlen trennen und zusammenführen mit doppelbrechenden Kristallen“) sehen Schüler*innen, dass Photonen entsprechend diesen beiden Polarisationszuständen auf zwei unterschiedliche Wege geschickt werden können (zum Beispiel mithilfe doppelbrechender Kristalle).

In dieser Einheit verwenden wir die verschiedenen Wege („Welcher-Weg-Information“) des Lichts als die beiden Basiszustände: $\text{|0⟩}$ entspricht dem einen Weg und $\text{|1⟩}$ dem anderen Weg durch das Interferometer.

$|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ und $|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Genauso wie wir den Basiszuständen eines Qubits zum Beispiel zwei Polarisationsrichtungen zugeordnet haben, können wir die Strahlteiler oder die Spiegel in einem Mach‑Zehnder‑Interferometer oder sogar das ganze Interferometer als Quantengatter betrachten, mit denen wir u. a. Superposition erzeugen können.

Schauen wir uns zunächst einen Strahlteiler an. Sein „Eingang“ kann zum Beispiel ein Photon $\text{|0⟩}$ sein, das auf dem horizontalen Eingangsweg kommt, oder ein Photon $\text{|1⟩}$, das auf dem vertikalen Eingangsweg kommt. Der Strahlteiler besitzt zwei Ausgänge $\text{|0⟩}$ und $\text{|1⟩}$. Das Ergebnis ist ein Photon, das sich in einer Überlagerung der Zustände $\text{|0⟩}$ und $\text{|1⟩}$ befindet.

Wir haben hier wieder die Analogie: Welcher‑Weg‑Information = Qubit und Strahlteiler = Quantengatter.

Ein „Strahlteiler“-Quantengatter kann durch folgende Matrix beschrieben werden:

Trifft ein Photon im Zustand $\text{|0⟩}$ auf dieses „Strahlteiler“-Quantengatter, kann das folgendermaßen mathematisch dargestellt werden:

Oder, geschrieben als Funktion der Basiszustände des Qubits:

Das „Photon‑Qubit“, das den Strahlteiler verlässt, ist in einer sogenannten Superposition der Basiszustände $\text{|0⟩}$ und $\text{|1⟩}$. Würde man hinter dem Strahlteiler eine Messung durchführen, wäre die Wahrscheinlichkeit, das „Photon‑Qubit“ im Zustand $\text{|0⟩}$ zu finden ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$= 50%. Die Wahrscheinlichkeit, es im Zustand $\text{|1⟩}$ zu finden, beträgt ebenfalls $\frac{1}{2}$.

Auch die beiden Spiegel kann man als Quantengatter auffassen. Ein Spiegel verursacht eine Phasenverschiebung von 180°. Ein „Spiegel“-Quantengatter kann durch folgende Matrix dargestellt werden:

wobei $I$ die Identitätsmatrix (oder Einheitsmatrix) ist. 

Da sowohl Strahl 1 als auch Strahl 2 an einem Spiegel reflektiert werden, ist die Phasenverschiebung irrelevant (beide sind gleich, man spricht von einer globalen Phase, die physikalisch keinen Effekt hat). Das bedeutet, dass wir in Abb. 3 und Abb. 4 an den Schirmen S1 und S2 überall einmal „180°“ wegstreichen können. Siehe dazu auch Abb. 9.

Nun fügen wir noch das zweite „Strahlteiler‑Quantengatter“ hinzu. Die Wirkung von Strahlteiler ST1, dem Spiegel SP1 (oder SP2) und dem Strahlteiler ST2 kann in Matrixform so beschrieben werden:

 Das entspricht der Matrixschreibweise des Quantengatters, das das gesamte Mach‑Zehnder‑Interferometer (MZI) darstellt:

$$M_{\mathrm{MZI}}=M_{\mathrm{ST1}}\cdot M_{\mathrm{SP}}\cdot M_{\mathrm{ST2}}$$

Dieses „MZI“-Quantengatter könnten wir nun auf einen ganz allgemeinen Qubit‑Zustand  $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|0⟩+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|1⟩$ anwenden:

$$\begin{gathered} M_{MZI}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|0⟩+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|1⟩)=\left(\begin{array}{cc}0& -<!--\; -\; -->i\\ -<!--\; -\; -->i& 0\end{array}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)) \\ =\left(\begin{array}{cc}0& -<!--\; -\; -->i\\ -<!--\; -\; -->i& 0\end{array}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\begin{array}{c}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\\ \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\end{array}\right) \\ =-<!--\; -\; -->i\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\begin{array}{c}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\\ \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\end{array}\right) \\ =-<!--\; -\; -->i\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|0⟩+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|1⟩) \end{gathered}$$

Wie kann man das nun interpretieren? Das Mach‑Zehnder‑Interferometer wirkt auf ein Photon, indem es die beiden Amplituden der Basiszustände austauscht.

Beim Quantencomputing mit optischen Systemen gehört das Mach‑Zehnder‑Interferometer zu den grundlegenden Elementen. Es kann, wie wir gesehen haben, als Quantengatter eingesetzt werden. Durch Kombination mehrerer Mach‑Zehnder‑Interferometer kann man alle möglichen Quantengatter herstellen, zum Beispiel ein Hadamard‑Gatter oder ein Phasengatter. 
Ein Mach-Zehnder-Interferometer ermöglicht die präzise Steuerung von Quantensuperposition und Messwahrscheinlichkeiten.